Question

【題目】在平面直角坐標系中，動點到點的距離和它到直線的距離相等，記點的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）設點在曲線上，軸上一點（在點右側）滿足，若平行于的直線與曲線相切于點，試判斷直線是否過點？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）直線過點，理由見解析

【解析】

(1)由拋物線的定義求出的方程；

(2)根據拋物線的定義表示出點的坐標，根據坐標寫出直線的斜率，進而得到直線的方程，將直線與拋物線方程聯立，結合判別式得出，進而得出點D的坐標，求出直線的斜率，討論和，得出直線的方程，即可判斷直線是否過點.

解：（1）根據拋物線的定義得，動點的軌跡是以為焦點，直線的拋物線.

（2）由題設，則，

又，故

由于，則直線不與軸垂直

令平行于的直線，則，

將直線代入，得，

整理……①

，

當時，直線AB為軸，此時不存在平行于的直線與曲線相切于點

即

所以①可以化為

，，

當時

，

，過定點

當時，也過點，故直線過點