Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的部分圖象
如圖所示，其中與x軸有交點 （-2，0）、（6，0），圖象有一個最高點（2，

2

）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C對的邊分別為a，b，c，若f（x）在x∈[4，12]上的最大值為c且C=60°，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函數的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而求得函數的解析式．
（2）在△ABC中，由正弦函數的定義域和值域求得△ABC的面積的最大值為

3

4

ab．利用基本不等式可得ab 的最大值為1，從而求得，△ABC的面積的最大值．

解答：（1）解：由函數的圖象可得A=

2

，ω=

2π

T

=

2π

16

=

π

8

，∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+?）．
∵函數圖象有一個最高點（2，

2

），
∴

π

8

×2+?=

π

2

，∴?=

π

4

，∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．
（2）在△ABC中，f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

），且 x∈[4，12]，∴

3π

4

≤

π

8

x+

π

4

≤

7π

4

，
故f（x）在x∈[4，12]上的最大值為c=1，
∴△ABC的面積S_△ABC的最大值為

1

2

ab•sinC=

3

4

ab．
由余弦定理求得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

=cos60°=

1

2

  可得 ab=a²+b²-1，
利用基本不等式可得ab=a²+b²-1≥2ab-1，∴ab≤1，
∴△ABC的面積S_△ABC的最大值為

3

4

ab≤

3

4

．
故當且僅當 a=b=1時，△ABC的面積的最大值為

3

4

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數的定義域和值域，余弦定理以及基本不等式的應用，屬于中檔題．