Question

【題目】關于函數，，下列說法正確的是（ ）

A.當時，在處的切線方程為

B.當時，存在唯一極小值點，且

C.對任意，在上均存在零點

D.存在，在上有且只有一個零點

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

當時，，求出，得到在處的切線的點斜式方程，即可判斷選項A；求出的解，確定單調區間，進而求出極值點個數，以及極值范圍，可判斷選項B；令，當時，分離參數可得，設，求出的極值最值，即可判斷選項C，D的真假.

當時，，

,

所以在處的切線方程為，

即，所以選項A正確；

當時，，

當時，，

當時，單調遞增，

所以存在，使得，

當，

所以是唯一極小值點，且，

，

，

，所以選項B正確；

令，當時，，

設，

，

令，

由圖像可知，

當時取極大值，又，

，

當時極小值，又，

，

所以當，，

當時，

與直線沒有交點，

即在上不存在零點，所以選項C錯誤；

當時，與直線有唯一交點，

此時在上有且只有一個零點，所以選項D正確.

故選：ABD.