Question

【題目】定義：若函數在區間上的值域為，則稱區間是函數的“完美區間”，另外，定義區間的“復區間長度”為，已知函數，則（ ）

A.是的一個“完美區間”

B.是的一個“完美區間”

C.的所有“完美區間”的“復區間長度”的和為

D.的所有“完美區間”的“復區間長度”的和為

Answer 1

【答案】AC

【解析】

根據定義，當時求得的值域，即可判斷A；對于B，結合函數值域特點即可判斷；對于C、D，討論與兩種情況，分別結合定義求得“復區間長度”，即可判斷選項.

對于A，當時，，則其值域為，滿足定義域與值域的范圍相同，因而滿足“完美區間”定義，所以A正確；

對于B，因為函數，所以其值域為，而，所以不存在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯誤；

對于C，由定義域為，可知，

當時，，此時，所以在內單調遞減，

則滿足，化簡可得，

即，所以或，

解得（舍）或，

由解得或（舍），

所以，經檢驗滿足原方程組，所以此時完美區間為，則“復區間長度”為；

當時，①若，則，此時.當在的值域為，則，因為 ，所以，即滿足，解得，（舍）.所以此時完美區間為，則“復區間長度”為；

②若，則，，此時在內單調遞增，若的值域為，則，則為方程的兩個不等式實數根，

解得，， 所以，與矛盾，所以此時不存在完美區間.

綜上可知，函數的“復區間長度”的和為，所以C正確，D錯誤；

故選：AC.