Question

【題目】已知函數

（1）若曲線在點處的切線l過點，求實數的值；

（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對函數進行求導，根據導數的幾何意義，結合直線點斜式方程、點在直線上進行求解即可；

（2）對函數進行求導，分類討論求出函數的單調性，結合零點的定義、零點存在原理，通過構造新函數，對新函數進行求導，根據新函數的單調性進行求解即可.

解：（1）由，有，，

切線的方程為，代入點有，解得，故實數的值為－1.

（2）函數的定義域為，由，

.

①當時，，此時函數單調遞增，最多只有一個零點；

②當時，令，由可知函數單調遞增，又由，，可得存在，使得，有，可知函數的減區間為，增區間為.

若函數有兩個零點，必有

，得，

又由，

令，有，令可得，故函數的增區間為，減區間為，有，

當時，即時，，可得此時函數有兩個零點.

由上知，若函數有兩個零點，則實數的取值范圍為.