Question

21．已知函數f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數列，且a＞0, d＞0.設［1-］上，在處取得最大值，在，將點依次記為A， B， C.

(I)求

(II)若⊿ABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值

Answer 1

本小題考查函數的導數，函數極值的判定，閉區間上二次函數的最值，等差數列等基礎知識的綜合運用，考查用數形結合的數學思想分析問題，解決問題的能力.

(Ⅰ)解：∵2b=a+c.

∴f′(x)=ax²+2bx+c=ax²+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).

令f′(x)=0,得x=-1,或x= -

∵a＞0,d＞0,

∴0＜a＜b＜c,

∴

當＜x＜-1時，f′(x)＜0,

當x＞-1時，f′(x)＞0,

所以f(x)在x= -1處取得極小值，即

x₀= -1.

(Ⅱ)解法一：∵f′(x)=ax²+2bx+c,a＞0.

∴f′(x)的圖象開口向上，對稱軸方程是x= -

由＞1,知

∴f′(x)在［1-］上的最大值為f′(0)=c,即

x₁=0.

又由＞1，知-∈［1-］，

∴當x= -時，f′(x)取得最小值f′(-)=-即

x₂=-.

∵f(x₀)=f(-1)= -

∴A(-1,-),B(0,c),C(-,-).

由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以

即

a²=3d².                             ①

又由△ABC的面積為2+，得

利用b=a+d，c=a+2d，得

                ②

聯立①，②可得

d=3,a=3.

解法二：∵f′(x)=ax²+2bx+c,a＞0，

f′(1-)=0,f′(0)=c.

由c＞0知f′(x)在［1-］上的最大值為f′(0)=c.即

x₁=0.

由知-∈［1-］.

∴當x= -時f′(x)取得最小值f′（-）= -即

∵f(x₀)=f(-1)=-

∴A(-1,-),B(0,c),C(-,-).

由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以

-= -,即

a²=3d².                         ①

又由△ABC的面積為2+ ，得

利用b=a+d，c=a+2d，得

             ②

聯立①，②可得

d=3，a=3.