Question

假設某市2004年新建住房面積400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%，另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米，那么，到哪一年底，
（1）該市歷年所建中低價層的累計面積（以2004年為累計的第一年）將首次不少于4750萬平方米？
（2）當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？

Answer 1

分析：（1）設中低價房面積形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，求得首項和公差，利用等差數列的求和公式求得S_n，進而根據S_n≥4750，求得n的最小值．
（2）設新建住房面積形成數列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數列，根據題意可求得數列的首項和公比，則數列的通項公式可得，進而a_n＞0.85b_n，求得n的最小正整數．

解答：解：（1）設中低價房面積形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，
其中a₁=250，d=50，
則S_n=250n+

n(n-1)

2

×50=25n²+225n，
令25n²+225n≥4750，
即n²+9n-190≥0，而n是正整數，∴n≥10，
∴到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米．

（2）設新建住房面積形成數列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數列，
其中b₁=400，q=1.08，
則b_n=400•（1.08）^n-1，
由題意可知a_n＞0.85b_n，有250+（n-1）•50＞400•（1.08）^n-1•0.85，
由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數n=6，
到2009年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%．

點評：本題主要考查了數列的應用．解題的關鍵是利用題設條件判斷出數列的類型，根據等差或等比數列的性質來解決．