Question

【題目】設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線過焦點的弦，已知以為直徑的圓與相切于點.

（1）求的值及圓的方程；

（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）2，；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意得的方程為，根據為拋物線過焦點的弦，以為直徑的圓與相切于點..利用拋物線和圓的對稱性，可得，圓心為，半徑為2.

（2）設，的方程為，代入的方程，得，根據直線與拋物線相切，令，得，代入，解得.將代入的方程，得，得到點N的坐標為，然后求解.

（1）解：由題意得的方程為，

所以，解得.

又由拋物線和圓的對稱性可知，所求圓的圓心為，半徑為2.

所以圓的方程為.

（2）證明：易知直線的斜率存在且不為0，

設，的方程為，代入的方程，

得.

令，得，

所以，解得.

將代入的方程，得，即點N的坐標為，

所以，

，

故.