Question

【題目】邊長為的菱形,其頂角為.用 分別平行的三組等距平行線,將菱形劃分成個邊長為1的正三角形.試求以圖中的線段為邊的梯形個數.

Answer 1

【答案】

【解析】

由于圖中任兩條線段所在的直線,或者平 行或者相交成60°的銳角,

因此,由圖中線段組成的所有梯形都是底角為60°的等腰梯形.對于這種梯形,

若兩腰延長線的交點在菱形內部或周界上,則稱為“內置梯形”;若交點在菱形外,則稱為“外延梯形”.

(1)先求內置梯形的個數.

將邊長為的正三角形稱為“級三角形”,相應地,下底(較長底邊)的長為的梯形稱為“級梯形”,

再將腰長為的級梯形稱為“梯 形”.

圖中所有正三角形,要么頂點朝上,要么頂點朝下,分別稱作“順置三角形”與“倒置三角形”.

易見,每個梯形,可看作是由一個級三角形切去一個級三角形而得到的.

每個級三角形所切出的級梯形有種情況(其中,梯形各3個).

現計算圖中級三角形的個數:取為原點并以為軸、軸建立斜角坐標系,每個級順置三角形,下底左端點的橫坐標可取共個值,縱坐標也可取共個值.因此,級順置三角形有個.據對稱性, 級倒置三角形也有個.從而, 級三角形有個.于是, 級內置梯形有個.

求和得

(2)再求外延梯形的個數.

先考慮外延交點在線段AB外側的情況.如圖 10,任取,使,設諸點的斜角坐標為:,,,.延長,交直線于點,位于延長線上的交點共有個.對于確定的,為一個倒置正三角形,當點在上移動時,點在直線上移動,由于 ,

這兩條線段間的平行線共有條(包括這兩條線在內),任兩條這種平行線都在截出一個梯形.因此,這種梯形共有個,它們都以為外延交點.而延長線位于外側的交點共有個,故當固定時,共得到個外延梯形.現讓取遍,因此,位于外側的全部外延點共形成個外延梯形.

據對稱性,在菱形另三條邊外側的外延點,也分別形成同樣數目的外延梯形,從而,全部外延梯形的個數為

故