Question

（2013•萊蕪二模）甲、乙兩人玩猜數字游戲，規則如下：
①連續競猜3次，每次相互獨立；
②每次竟猜時，先由甲寫出一個數字，記為a，再由乙猜甲寫的數字，記為b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a-b|≤1，則本次競猜成功；
③在3次競猜中，至少有2次競猜成功，則兩人獲獎．
（I）求甲乙兩人玩此游戲獲獎的概率；
（Ⅱ）現從6人組成的代表隊中選4人參加此游戲，這6人中有且僅有2對雙胞胎記選出的4人中含有雙胞胎的對數為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）由題意基本事件的總數為

C

1 6

×

C

1 6

個，記事件A為“甲乙兩人一次競猜成功”，分|a-b|=0和|a-b|=1．利用古典概型的概率計算公式即可得出P（A）=

6+5×2

C 1 6 × C 1 6

=

4

9

．設隨機變量ξ表示在3次競猜中競猜成功的次數，則ξ～B(3，

4

9

)．則甲乙兩人獲獎的概率P（ξ≥2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）．
（II）由題意可知：從6人中選取4人共有

C

4 6

種選法，雙胞胎的對數X的取值為0，1，2．X=0，表示的是分別從2對雙胞胎中各自選取一個，再把不是雙胞胎的2人都取來；X=1，表示的是從2對雙胞胎中選取一對，另外2人的選取由兩種方法，一種是把不是雙胞胎的2人都選來，另一種是從另一雙胞胎中選一個，從不是雙胞胎的2人中選一個；X=2，表示的是把2對雙胞胎2人都選來．據此即可得出X的分布列和EX．

解答：解：（I）由題意基本事件的總數為

C

1 6

×

C

1 6

個，記事件A為“甲乙兩人一次競猜成功”，若|a-b|=0，則共有6種競猜成功；若|a-b|=1，a=1，2，3，4時，b分別有2個值，而a=0或5時，b只有一種取值．利用古典概型的概率計算公式即可得出P（A）=

6+5×2

C 1 6 × C 1 6

=

4

9

．
設隨機變量ξ表示在3次競猜中競猜成功的次數，
則甲乙兩人獲獎的概率P（ξ≥2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=1-

C

0 3

(

4

9

)0(

5

9

)3-

C

1 3

×

4

9

×(

5

9

)2=

304

729

．
（II）由題意可知：從6人中選取4人共有

C

4 6

種選法，雙胞胎的對數X的取值為0，1，2．
則P（X=0）=

C 1 2 C 1 2 C 2 2

C 4 6

=

4

15

，P（X=1）=

C 1 2 ( C 1 2 C 1 2 + C 2 2 )

C 4 6

=

2

3

，P（X=2）=

C 2 2

C 4 6

=

1

15

．
隨機變量X的分布列為
期望為E（X）=0×

4

15

+1×

2

3

+2×

1

15

=

4

5

．

點評：正確分類和熟練掌握古典概型的概率計算公式、二項分布、隨機變量的分布列和數學期望是解題的關鍵．