Question

【題目】已知分別為橢圓左、右焦點，點在橢圓上，且軸，的周長為6．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是橢圓上異于點的兩個動點，如果直線與直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據點在橢圓上，以及軸，可以求出的值，再根據的周長為以及橢圓的定義可以求出，進而可以得到橢圓的標準方程；（2）根據題目條件可知直線與直線的斜率應是互為相反數，據此可以得到點坐標，進而可以求出直線的斜率為定值，即證明了直線的斜率為定值.

試題解析：（1）由題意，，．．．．．．．．．．．．．．．1分

…………… 2分

∴．．．．．．．．．．．．3分

∴ 橢圓方程為，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由（1）知，設直線方程：得，代入得

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

設，因為點在橢圓上，所以，

又直線的斜率與的斜率互為相反數，在上式中以代，可得

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以直線的斜率，

即直線的斜率為定值，其值為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分