Question

如圖，設A、B、C、D為地球O上的四個城市，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且DA=AC=1，AB=

2

，則某人乘飛機從D經A到達B的最短路程為（　　）

• A．

  2

  3

  π
• B．1+

  2

• C．

  5

  6

  π
• D．

  3

Answer 1

分析：由已知中四面體A-BCD中，共頂點A的三條棱兩兩互相垂直，我們可得四面體的外接球即為以AB，AC，AD為長寬高的長方體的外接球，又由DA=AC=1，AB=

2

，可求出其外接球半徑，進而求出球心角∠AOD、∠BOA，代入弧長公式，即可求出從D經A到達B的球面距離即得．

解答：解：∵四面體A-BCD中，共頂點A的三條棱兩兩互相垂直，且DA=AC=1，AB=

2

，
故四面體的外接球即為以AB，AC，AD為長寬高的長方體的外接球
可求得此長方體的體對角線長為2
則球半徑R=1
∴球心角∠AOD=

π

3

，
∠BOA=

π

2

，
故A，D的球面距離為

π

3

×1=

π

3

，A，B的球面距離為

π

2

×1=

π

2

，
則某人乘飛機從D經A到達B的最短路程為

π

3

+

π

2

=

5

6

π
故選C．

點評：本題考查的知識點是球面距離及相關計算，余弦定理，弧長公式，其中根據已知條件求出球半徑和球心角是解答本題的關鍵．