Question

【題目】已知函數的圖象在處的切線方程為.

（1）討論函數的單調性.

（2）是否存在正實數，使得函數的定義域為時，值域也為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）存在；

【解析】

(1)先對函數進行求導，根據已知條件在處的切線方程為可求出，，即得到，再對進行求導，對參數進行討論即可.

(2)先假設存在符合題意的正實數，再對進行求導，可得到它的單調性以及單調區間，從而可求得的最小值大于或等于零即可.

解：（1）∵，∴.

又∵，∴，∴.

∴，∴.

當時，，在上單調遞減；

當時，令，得.

令，得，

故在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）假設存在符合題意的正實數，

由，得.

∵在上單調遞增，在上單調遞減，

∴函數在上單調遞增.

∵，且當時，，

∴存在唯一的實數，使得，即①，

∴當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

∴.

由，得，

∴

.

當且僅當時取等號，由，得，此時，

把，代入①也成立.

故存在正實數，使得定義域為時，值域也為.