Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，直線與交于，兩點，且與軸交于點.

（1）若直線的斜率，且，求的值；

（2）若，軸上是否存在點，總有？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，

【解析】

（1）依題意，設：，聯立方程可得，借助韋達定理表示，即可得到結果；

（2）討論直線的斜率，直線存在斜率時，聯立方程，借助韋達定理表示，即可得到點.

（1）解法一：依題意，設：，

聯立：，整理得①

由，得，

又且，∴或（舍去），

所以①式可化為，設，，則，

∴.

解法二：依題意，設：，

聯立：，整理得①

∴，即，

又且，∴或（舍去），

所以①式可化為，設，，則，

∴.

（2）當直線斜率不存在時，由對稱性知，存在點滿足，

若直線存在斜率，設為則：，聯立：，

整理得，

∵，∴，

設由易知即，

∴即，

∴，∵，∴，

所以.

綜上所述，當時，軸上存在點，總有.