Question

【題目】已知橢圓C：（）的左，右焦點(diǎn)為，，且焦距為，點(diǎn)，分別為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，滿足.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)，橢圓C上的兩個(gè)動點(diǎn)M，N滿足，求證：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)，，，結(jié)合已知的向量表達(dá)式，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知四邊形為菱形，結(jié)合已知條件進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)直線是否存在斜率進(jìn)行分類討論.設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩平面向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

（1）設(shè)，，，

由可知四邊形為菱形且，

故，解得，故，

橢圓C的方程為.

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，，.

聯(lián)立消去y得

，

，

，，

由，則，

即，

整理得，

將，代入整理得，

即，

解得或.

當(dāng)時(shí)，直線：過點(diǎn)E，舍去；

當(dāng)時(shí)，直線：過定點(diǎn).

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，

則由，則，

即，即，

即，解得（舍去）或，也過定點(diǎn).

綜上，直線過定點(diǎn).