Question

【題目】已知拋物線，不與坐標軸垂直的直線與拋物線交于兩點，當且時，.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若過定點，點關于軸的對稱點為，證明：直線過定點，并求出定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析，定點.

【解析】

（1）根據直線和拋物線的相交的弦長公式建立方程即可求出拋物線的標準方程.
（2）根據對稱性設出，的坐標，聯立方程求出直線的方程，結合方程進行判斷即可.

（1）將拋物線方程和直線方程聯立，得，

消去得，由根與系數關系可得，，

則，

則，化簡得，解之得或（舍去），

故拋物線的標準方程為；

（2）直線方程為，

設坐標分別為.

因為點與點關于軸對稱，所以坐標為，顯然點也在拋物線上.

設直線與軸交點的坐標為.

由消去得.

所以，.

由于三點共線，則，

從而，化簡得，

又，

，

則，

故過定點.