Question

【題目】在極坐標系中，已知曲線C1：ρ＝2cosθ和曲線C2：ρcosθ＝3，以極點O為坐標原點，極軸為x軸非負半軸建立平面直角坐標系．

（1）求曲線C1和曲線C2的直角坐標方程；

（2）若點P是曲線C1上一動點，過點P作線段OP的垂線交曲線C2于點Q，求線段PQ長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）C1的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＝3.（2）最小值為 .

【解析】

（1）根據題意，利用極坐標公式轉化成直角坐標方程，即可求解，

（2）根據題意畫出圖像，則由圓幾何性質可知PQ過點A(2，0)，將直線的參數方程代入分別求參數，運用參數的幾何意義求弦長，再根據基本不等式求解最值.

（1）C1的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＝3.

（2）設曲線C1與x軸異于原點的交點為A，

∵PQ⊥OP，∴PQ過點A(2，0)，

設直線PQ的參數方程為 (t為參數)，

代入C1可得t2＋2tcos θ＝0，解得t1＝0，t2＝－2cos θ，

可知|AP|＝|t2|＝|2cos θ|.

代入C2可得2＋tcos θ＝3，解得t′＝，

可知|AQ|＝|t′|＝，

∴|PQ|＝|AP|＋|AQ|＝|2cos θ|＋≥，當且僅當|2cos θ|＝ 時取等號，

∴線段PQ長度的最小值為