Question

【題目】已知函數.

（1）若函數，試討論的單調性；

（2）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）由于函數，得出，分類討論當和時，的正負，進而得出的單調性；

（2）求出，令，得，設，通過導函數，可得出在上的單調性和值域，再分類討論和時，的單調性，再結合，恒成立，即可求出的取值范圍.

解：（1）因為，

所以，

①當時，，在上單調遞減.

②當時，令，則；令，則，

所以在單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）因為，可知，

，

令，得.

設，則.

當時，，在上單調遞增，

所以在上的值域是，即.

當時，沒有實根，且，

在上單調遞減，，符合題意.

當時，，

所以有唯一實根，

當時，，在上單調遞增，，不符合題意.

綜上，，即的取值范圍為.