Question

【題目】

已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為時，為正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，

（ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標；

（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）.（II）（ⅰ）直線AE過定點.（ⅱ）的面積的最小值為16.

【解析】

試題（I）由拋物線的定義知，

解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為.

（II）（ⅰ）由（I）知，

設，

可得，即，直線AB的斜率為，

根據直線和直線AB平行，可設直線的方程為，

代入拋物線方程得，

整理可得，

直線AE恒過點.

注意當時，直線AE的方程為，過點，

得到結論：直線AE過定點.

（ⅱ）由（ⅰ）知，直線AE過焦點，

得到，

設直線AE的方程為，

根據點在直線AE上，

得到，再設，直線AB的方程為，

可得，

代入拋物線方程得，

可求得，，

應用點B到直線AE的距離為.

從而得到三角形面積表達式，應用基本不等式得到其最小值.

試題解析：（I）由題意知

設，則FD的中點為，

因為，

由拋物線的定義知：，

解得或（舍去）.

由，解得.

所以拋物線C的方程為.

（II）（ⅰ）由（I）知，

設，

因為，則，

由得，故，

故直線AB的斜率為，

因為直線和直線AB平行，

設直線的方程為，

代入拋物線方程得，

由題意，得.

設，則，.

當時，，

可得直線AE的方程為，

由，

整理可得，

直線AE恒過點.

當時，直線AE的方程為，過點，

所以直線AE過定點.

（ⅱ）由（ⅰ）知，直線AE過焦點，

所以，

設直線AE的方程為，

因為點在直線AE上，

故，

設，

直線AB的方程為，

由于，

可得，

代入拋物線方程得，

所以，

可求得，，

所以點B到直線AE的距離為

.

則的面積，

當且僅當即時等號成立.

所以的面積的最小值為16.