Question

【題目】設函數，（）.

（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數a、m的值；

（2）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）不能，證明見解析

【解析】

（1）求出，結合導數的幾何意義即可求解；

（2）構造，則原題等價于對任意恒成立，即時，，利用導數求最值即可，值得注意的是，可以通過代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調性；

（3）構造并進行求導，研究單調性，結合函數零點存在性定理證明即可.

（1），

，

曲線在點處的切線方程為，

，

解得.

（2）記，

整理得，

由題知，對任意恒成立，

對任意恒成立，即時，，

，解得，

當時，

對任意，，，

，

，即在單調遞增，此時，

實數的取值范圍為.

（3）關于的方程不可能有三個不同的實根，以下給出證明：

記，，

則關于的方程有三個不同的實根，等價于函數有三個零點，

，

當時，，

記，則，

在單調遞增，

，即，

，

在單調遞增，至多有一個零點；

當時，

記，

則，

在單調遞增，即在單調遞增，

至多有一個零點，則至多有兩個單調區間，至多有兩個零點.

因此，不可能有三個零點.

關于的方程不可能有三個不同的實根.