Question

【題目】以直角坐標(biāo)系xOy的原點為極坐標(biāo)系的極點，x軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，P是上一動點，，Q的軌跡為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程，

（2）若點，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與曲線的交點為A，B，當(dāng)取最小值時，求直線l的普通方程.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）設(shè)點P，Q的極坐標(biāo)分別為，)，利用這一關(guān)系，可得Q的極坐標(biāo)方程，再化成普通方程，即可得答案；

（2）設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，將直線l的參數(shù)方程，（為參數(shù)），代入的直角坐標(biāo)方程，利用韋達定理，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，求出此時的值，即可得答案.

（1）設(shè)點P，Q的極坐標(biāo)分別為，)，

因為，

所以曲線的極坐標(biāo)方程為，

兩邊同乘以ρ，得，

所以的直角坐標(biāo)方程為，即.

（2）設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，

將直線l的參數(shù)方程，（為參數(shù)），

代入的直角坐標(biāo)方程中，整理得.由根與系數(shù)的關(guān)系得.

∴，( 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立)

∴當(dāng)取得最小值時，直線l的普通方程為.