Question

【題目】已知橢圓，焦距為2，離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點作圓的切線，切點分別為，直線與軸交于點，過點的直線交橢圓于兩點，點關于軸的對稱點為，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）根據焦距和離心率求，再求即得；

（2）由題意，四點共圓，該圓的方程為，則直線為圓與圓的公共弦所在的直線，求出直線的方程，求出點、點的坐標. 設，則.設直線的方程為，代入橢圓的方程，利用韋達定理、弦長公式就能求出的面積的最大值.

（1）由題意， ，解得，由，解得;

所以橢圓的標準方程為；

（2）由題意，得四點共圓，該圓的方程為，

又圓的方程為，兩圓方程相減，得直線的方程為，

令，得，即點的坐標為，則點關于軸的對稱點為.

設，則，因此最大， 就最大，

由題意直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

所以，

又直線與橢圓交于不同的兩點，則，即，

，

令，則，

令，則函數在上單調遞增，

即當時， 在上單調遞增，因此有；

所以，當時取等號.

故面積的最大值為3