如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側棱長為2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC= $數學公式$ ，D是側棱CC₁上一點，且BD與底面所成角為30°．
（1）求點D到AB所在直線的距離．
（2）求二面角A₁-BD-B₁的度數．

解：（1）∵BD在底面的射影為BC

∴∠DBC即為BD與底面所成角則∠DBC=30°
∵∠B=90°，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AB⊥側面BC₁，而BD?側面BC₁，
∴AB⊥BD即BD為點D到AB所在直線的距離
在直角三角形BDC中，BD=2
∴點D到AB所在直線的距離為2
（2）過B₁作BD的垂線角BD與E，連接A₁E，B₁E
∵A₁B₁⊥側面BC₁，
∴∠A₁EB₁為二面角A₁-BD-B₁的平面角
在直角三角形A₁B₁E中，A₁B₁=1，B₁E= $\text{[math]}$
∴tan∠A₁EB₁= $\text{[math]}$
∴∠A₁EB₁=30°
即二面角A₁-BD-B₁的度數為30°
分析：（1）根據線面垂直的性質可知AB⊥BD即BD為點D到AB所在直線的距離，再根據線面所成角的定義可知∠DBC即為BD與底面所成角，可求出BD，即可求得所求；
（2）過B₁作BD的垂線角BD與E，連接A₁E，B₁E，根據二面角平面角的定義可知∠A₁EB₁為二面角A₁-BD-B₁的平面角，在直角三角形A₁B₁E中，求出此角即可．
點評：本題主要考查了點到平面的距離，以及二面角的度量等有關知識，同時考查了空間想象能力、推理論證的能力，和轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．

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如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4．E、F分別是棱CC₁、AB中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB₁；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB₁的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB₁的位置關系，并加以證明．

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如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上動點，F是AB中點，AC=BC=2，AA₁=4．
（1）求證：CF⊥平面ABB₁；
（2）當E是棱CC₁中點時，求證：CF∥平面AEB₁；
（3）在棱CC₁上是否存在點E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°，若存在，求CE
的長，若不存在，請說明理由．

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如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，E、F分別是棱CC₁、AB中點．
（1）判斷直線CF和平面AEB₁的位置關系，并加以證明；
（2）求四棱錐A-ECBB₁的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB和C₁D所成的角（用反三角函數表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點，試確定點E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點D到平面B₁C₁E的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•莒縣模擬）如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4．E、F分別是棱CCl、AB中點．
（I）求證：CF⊥BB₁；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB₁的體積；
（Ⅲ）證明：直線CF∥平面AEB_l．

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小學

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，側棱長為2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，D是側棱CC1上一點，且BD與底面所成角為30°．（1）求點D到AB所在直線的距離．（2）求二面角A1-BD-B1的度數．

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側棱長為2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC= $數學公式$ ，D是側棱CC₁上一點，且BD與底面所成角為30°．
（1）求點D到AB所在直線的距離．
（2）求二面角A₁-BD-B₁的度數．