Question

設f（x）是定義在區間D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及D中的任意兩個實數x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），則稱f（x）為定義在D上的C函數．
（Ⅰ）試判斷函數是否為各自定義域上的C函數，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數，m是給定的正整數，設a_n=f_n，n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m．記S_f=a₁+a₂+…+a_m對于滿足條件的任意函數f（x），試求S_f的最大值；
（Ⅲ）若g（x）是定義域為R的函數，且最小正周期為T，試證明g（x）不是R上的C函數．

Answer 1

解：（Ⅰ）：f₁（x）=x²是C函數，證明如下：
對任意實數x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函數．
不是C函數，證明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，，
則f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴不是C函數．
（Ⅱ）對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，．
∵f（x）是R上的下凸函數，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可證f（x）=2x是C函數，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此時S_f=m²+m．
綜上所述，S_f的最大值為m²+m．
（Ⅲ）假設g（x）是R上的C函數．
若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．
若g（m）＜g（n），記，則0＜α＜1，且n=αx₁+（1-α）x₂
那么g（n）=g[αx₁+（1-α）x₂]≤αg（x₁）+（1-α）g（x₂）=g（m）
這與g（m）＜g（n）矛盾．
若g（m）＞g（n），
記也可得到矛盾．
∴g（x）在[0，T]上是常數函數，又因為g（x）是周期為T的函數，所以g（x）在R上是常數函數，這與g（x）的最小正周期為T矛盾．
所以g（x）不是R上的C函數． （14分）
分析：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函數，直接找f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂），推出其小于等于0即可； 不是C函數，采用舉反例的方法即可，x₁=-3，x₂=-1，．
（Ⅱ）先根據定義求出a_n=f（n）的范圍，再結合定義即可求出S_f的最大值即可．
（Ⅲ）假設g（x）是R上的C函數．若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．分g（m）＜g（n），g（m）＞g（n），利用反證法，可以證明g（x）不是R上的C函數．
點評：本題主要是在新定義下考查恒成立問題．恒成立問題一般有兩種情況，一是f（x）＞a恒成立，只須比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只須比f（x）的最大值大即可．