Question

設函數f(x)的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，則稱f(x)為M上的l高調函數.

(1)如果定義域為[－1，＋∞)的函數f(x)＝x²為[－1，＋∞)上的m高調函數，求實數m的取值范圍.

(2)如果定義域為R的函數f(x)是奇函數，當x≥0時，f(x)＝|x－a²|－a²，且f(x)為R上的4高調函數，求實數a的取值范圍.

Answer 1

(1)f(x)＝x²(x≥－1)的圖象如圖(1)所示，要使得f(－1＋m)≥f(－1)，有m≥2；x≥－1時，恒有f(x＋2)≥f(x)，故m≥2即可.所以實數m的取值范圍為[2，＋∞)；

(2)由f(x)為奇函數及x≥0時的解析式知f(x)的圖象如圖(2)所示，

∵f(3a²)＝a²＝f(－a²)，

由f(－a²＋4)≥f(－a²)＝a²＝f(3a²)，

故－a²＋4≥3a²，從而a²≤1，

又a²≤1時，恒有f(x＋4)≥f(x)，故a²≤1即可.

所以實數a的取值范圍為[－1,1].