Question

【題目】已知數列滿足：（常數），.數列滿足：.

（1）求的值；

（2）求出數列的通項公式；

（3）問：數列的每一項能否均為整數？若能，求出k的所有可能值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ； (3) k為1，2時數列是整數列.

【解析】

（1）經過計算可知：，由數列滿足：（n＝1，2，3，4…），從而可求；
（2）由條件可知．得，兩式相減整理得，從而可求數列的通項公式；
（3）假設存在正數k，使得數列的每一項均為整數，則由（2）可知：
，由，，可求得．證明時，滿足題意，說明時，數列是整數列．

（1）由已知可知：，

把數列的項代入

求得；

（2）由

可知：①

則：②

①②有：，

即：

…，…，

；

（3）假設存在正數k使得數列的每一項均為整數，

則由（2）可知：③，

由，，可知，2.

當時，為整數，利用結合③式可知的每一項均為整數；

當時，③變為④

用數學歸納法證明為偶數，為整數.

時結論顯然成立，假設時結論成立，

這時為偶數，為整數，

故為偶數，為整數，

時，命題成立.

故數列是整數列.

綜上所述k為1，2時數列是整數列.