Question

【題目】已知拋物線：（）.

（1）若拋物線的焦點到準線的距離為4，點，在拋物線上，線段的中點為，求直線的方程；

（2）若圓以原點為圓心，1為半徑，直線與，分別相切，切點分別為，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由距離為4可求出進而可求出拋物線的方程.設，，代入到拋物線方程中，兩式相減，結合中點坐標，即可求出的斜率，結合直線的點斜式，可求出直線的方程.

（2）設直線的方程為（），與拋物線、圓的方程聯立，結合相切，可求，.設，通過切點既在直線上又在拋物線上，可求出，，從而，結合基本不等式，可求出有最小值.

解：（1）由拋物線的焦點到準線的距離為4，得.所以拋物線的方程為.

設，，則，所以，即

.因為線段的中點的坐標為，

所以且.所以.

故直線的方程為，即直線的方程為

經檢驗符合題意.

（2）設直線的方程為（）.代入，得.（*）

由直線與拋物線相切可知，，故.①

又直線與圓相切，所以，即.②

聯立①②，得，故.

設，解（*）式可得，，從而.

故，

當且僅當時，有最小值，為.