【題目】已知橢圓
過點
且橢圓的短軸長為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知動直線
過右焦點
，且與橢圓分別交于
兩點.試問
軸上是否存在定點
，使得，
恒成立？若存在求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）存在，
【解析】
（Ⅰ）由橢圓性質可知
,點代入即可求得結果.
（Ⅱ）假設存在定點
符合題意，①當直線
的斜率不存在時，由
解得
或
；②當直線的斜率為0時,解得
或.由①②可得,然后證明當時,通過方程聯立,借助韋達定理,坐標表示即可證得結論.
解：（Ⅰ）因為橢圓
過點
，所以
.
又橢圓的短軸長為
，所以，所以
，
解得
.
所以橢圓的方程為.
（Ⅱ）假設在
軸上存在定點，使得，
①當直線的斜率不存在時，則
，
，
，
由
，解得或；
②當直線的斜率為0時，則
，
，
，
由
，解得或.
由①②可得，即點
的坐標為
.
下面證明當時，恒成立，當直線的斜率不存在或斜率為0時，由①②知結論成立.
當直線斜率存在且不為0時，設其方程為
，
，
，
由
，得
，
直線經過橢圓內一點，一定與橢圓有兩個交點，
且
，
.
，
所以
.
綜上所述，在軸上存在定點，使得恒成立..
尖子生新課堂課時作業系列答案
英才計劃同步課時高效訓練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是拋物線
：
的焦點，點
為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為
，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角梯形
中，
，
，
，
為
的中點，沿
將
折起，使得點
到點
位置，且
，
為
的中點，
是
上的動點（與點
，
不重合）.
（Ⅰ）證明：平面
平面
垂直；
（Ⅱ）是否存在點，使得二面角
的余弦值
？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
，動點
滿足直線
與直線
的斜率之積為
，設點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）若過點
的直線
與曲線交于
，
兩點，過點
且與直線垂直的直線與
相交于點
，求
的最小值及此時直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是直角梯形，
,
，
,側面
底面,且
是以
為底的等腰三角形.
（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）若四棱錐的體積等于
.問：是否存在過點
的平面
分別交
，
于點
，使得平面
平面
？若存在，求出
的面積；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），曲線
的參數方程為
（
為參數），以該直角坐標系的原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ）分別求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線交曲線于，
兩點，交曲線于，
兩點，求
的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（
）的一個焦點為
，點
在C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點
且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓長軸的兩個端點分別為
，
，
與
相交于點Q，求證：點Q在某條定直線上.
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