Question

【題目】設離心率為3，實軸長為1的雙曲線（）的左焦點為，頂點在原點的拋物線的準線經過點，且拋物線的焦點在軸上.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線與拋物線交于不同的兩點，且滿足，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）12.

【解析】

（1）根據已知條件可設拋物線的標準方程為，再由雙曲線的性質求得，即可求得拋物線的標準方程；（2）設直線，與拋物線方程聯立，由韋達定理及弦長公式求解最值即可.

解：（1）由已知可設拋物線的標準方程為，

在雙曲線中有

解得，點，

又拋物線的準線方程為，且經過點，

，拋物線的標準方程為.

（2）設直線，

，，

則聯立消去得，

故，，

且，即，

由點，在拋物線上得，

由得，

解得或（舍），

則，滿足，則，

弦長

，當且僅當時取等號，

故的最小值為12.