Question

【題目】如圖，由三棱柱和四棱錐構成的幾何體中， 平面， ， ， ，平面平面．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若為棱的中點，求證： 平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）不存在這樣的點．

【解析】試題分析: （Ⅰ）在直三棱柱中，由平面，推得，

由平面平面，推得平面，又平面，得證．（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，寫出各點坐標,求出平面的法向量為,因為, 所以平面．（Ⅲ）設， ，根據線面角公式列出方程,解得，可得結論．

試題解析:（Ⅰ）證明：在直三棱柱中， 平面，

故，

由平面平面，且平面 平面，

所以平面，

又平面，

所以．

（Ⅱ）證明：在直三棱柱中， 平面，

所以， ，

又，

所以，如圖建立空間直角坐標系，

依據已知條件可得， ， ， ， ， ，

所以， ，

設平面的法向量為，

由即

令，則， ，于是，

因為為中點，所以，所以，

由，可得，

所以與平面所成角為0，

即平面．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面的法向量為．

設， ，

則， ．

若直線與平面成角為，則

，

解得，

故不存在這樣的點．