Question

【題目】在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線上存在點，且過點的橢圓的兩條切線相互垂直，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據離心率為的橢圓過點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、即可得結果；（2）設切線方程為，代入橢圓方程得，則，化為，利用直線與圓有公共點，即可得結果.

（1）由題意，解得，又，解得

所以橢圓C的標準方程為．

（2）①當過點的橢圓的一條切線的斜率不存在時，另一條切線必垂直于軸，易得

②當過點的橢圓的切線的斜率均存在時，設

切線方程為，

代入橢圓方程得，

，

化簡得：，

由此得，

設過點的橢圓的切線的斜率分別為，所以．

因為兩條切線相互垂直，所以，即，

由①②知在圓上，又點在直線上，

所以直線與圓有公共點，

所以，所以．

綜上所述，的取值范圍為．