Question

【題目】如圖，菱形與等邊所在平面互相垂直，，，，分別是線段，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）．

【解析】

（1）法一：通過構造平行四邊形的方法，證得平面；法二：通過構造面面平行的方法，證得平面．

（2）利用等體積法，計算出點到平面的距離．

（1）法一：如圖，取線段的中點，連接，是線段的中點，

則且．

在菱形中為線段中點，

則且．

則且，

故四邊形為平行四邊形，

所以．

又因為平面，平面，

所以平面．

法二：如圖，取線段中點，連接，，

在中，，

因為平面，平面，

所以平面．

在菱形中，，

因為平面，平面，

所以平面．

又因為，且，平面，

所以平面平面．

因為平面，

所以平面．

（2）如圖，在等邊中取邊中點，連接，

則，

因為平面平面且平面平面，

所以平面，

在菱形中，，是線段的中點，

所以．

連接，在中，，

在中，，

在中，．

設點到平面的距離為，

則，即，

，

，

解得，所以點到平面的距離為．