Question

【題目】如圖,在三棱臺中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（Ⅰ）求證：EF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）先證，再證，進而可證平面；（Ⅱ）方法一：先找二面角的平面角，再在中計算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空間直角坐標系，再計算平面和平面的法向量，進而可得二面角的平面角的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）延長， ， 相交于一點，如圖所示．

因為平面平面，且，所以平面，因此．

又因為， ， ，

所以為等邊三角形，且為的中點，則．

所以平面．

（Ⅱ）方法一：過點作于Q，連結．

因為平面，所以，則平面，所以．

所以是二面角的平面角．

在中， ， ，得．

在中， ， ，得．

所以二面角的平面角的余弦值為．

方法二：如圖，延長， ， 相交于一點，則為等邊三角形．

取的中點，則，又平面平面，所以， 平面．

以點為原點，分別以射線， 的方向為， 的正方向，建立空間直角坐標系．

由題意得， ， ， ， ， ．

因此， ， ， ．

設平面的法向量為，平面的法向量為．

由，得，取；

由，得，取．

于是， ．

所以，二面角的平面角的余弦值為．