Question

【題目】已知函數().

（1）討論的單調性；

（2）若對，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①當時，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時， 在上單調遞增；

（2）.

【解析】

（1）求出函數的定義域和導函數， ，對討論，得導函數的正負，得原函數的單調性；（2）法一: 由得，

分別運用導函數得出函數()，的單調性，和其函數的最值，可得 ，可得的范圍;

法二:由得，化為令()，研究函數的單調性，可得的取值范圍.

（1）的定義域為，，

①當時，由得，得，

在上單調遞減，在上單調遞增；

②當時，恒成立,在上單調遞增；

（2）法一: 由得，

令()，則，在上單調遞減，

，，即，

令，

則，在上單調遞增，，在上單調遞減，所以，即，

(*)

當時，，(*)式恒成立，即恒成立，滿足題意

法二:由得，，

令()，則，在上單調遞減，

，，即，

當時，由(Ⅰ)知在上單調遞增，恒成立，滿足題意

當時，令，則，所以在上單調遞減，

又，當時，，，使得，

當時，，即，

又，，，不滿足題意，

綜上所述，的取值范圍是