【題目】已知函數
（
，
）.
（1）當
（e為自然對數的底數）時，
（i）若
在
上恰有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍；
（ii）若
（
），求
在
上的最大值；
（2）當
時，
，
，數列
滿足
.求證：
.
【答案】（1）（i）
.（ii）
（2）見解析
【解析】
（1）
時，（i）
，
，判斷函數的單調性，求解函數的最值，推出m的范圍.（ii）
（
），
.通過
①當
時，②當
時，③當
時，利用函數的導數，求解函數的最值.
（2）
時，
，
，轉化求解函數的通項公式，利用不等式求解結果即可.
（1）時，（i），，
故
在
上單調遞減；在
上單調遞增；
故在
上恰有兩個相異實根，
故
，解得.
（ii）（），∴.
①當時，
，
在
上為增函數，則此時
；
②當時，
，在
上為增函數，
故在上為增函數，此時；
③當時，，在
上為增函數，在上為減函數，
若
，即
時，故在
上為增函數，在
上為減函數，
此時
，
若
，即
時，在上為增函數，則此時
；
綜上所述：
.
（2）時，，，
即
，
所以
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知過點P（4，0）的動直線與拋物線C：
交于點A，B，且
（點O為坐標原點）.
（1）求拋物線C的方程；
（2）當直線AB變動時，x軸上是否存在點Q使得點P到直線AQ，BQ的距離相等，若存在，求出點Q坐標，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓Q經過定點
，且與定直線
相切（其中a為常數，且
）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？
（2）設點P的坐標為
，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得
？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩同學在復習數列時發現原來曾經做過的一道數列問題因紙張被破壞，導致一個條件看不清，具體如下：等比數列
的前n項和為
，已知_____，
（1）判斷
，
，
的關系；
（2）若
，設
，記
的前n項和為
，證明：
.
甲同學記得缺少的條件是首項a1的值，乙同學記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問的答案是，，成等差數列.如果甲、乙兩同學記得的答案是正確的，請你通過推理把條件補充完整并解答此題.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BD
CD，△ACD為正三角形，點M，N分別在AE，CD上運動（不含端點），且AM＝CN，則當四面體C﹣EMN的體積取得最大值
時，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD為正三角形，點M，N分別在AE，CD上運動（不含端點），且AM＝CN，則當四面體C﹣EMN的體積取得最大值時，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
件次品和
件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．
（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；
（2）已知每檢測一件產品需要費用
元，設
表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，四個頂點恰好構成了一個邊長為
且面積為
的菱形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線
，
過右焦點F2，且它們的斜率乘積為
，設，分別與橢圓交于點
，
和
，
，
的中點為
，
的中點為
，求
面積的最大值．
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