Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足

Sn

an-1

=

q

q-1

（g是常數，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當q=

1

4

時，試證明Sn＜

1

3

；
（Ⅲ）設函數．f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），使

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≥

m

3

對n∈N^*？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I ）由a_n=S_n-S_n-1=

q

q-1

(an-1)-

q

q-1

（a_n-1-1）知

an

an-1

=q，由S₁=a₁=

q

q-1

（a₁-1）得a₁=q，由此知a_n=q•q^n-1=qⁿ．
（II）由于a1+a2+…+an=

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

，故可證明Sn＜

1

3

；
（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=logqq1+2+n=

n(n+1)

2

1

b1

+

1

b2

++

1

bn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n

-

1

n+1

)所以 m≤6(1-

1

n+1

)由此能求出m的值．

解答：解：（I ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

q

q-1

(an-1)-

q

q-1

（a_n-1-1），∴

an

an-1

=q，又由S₁=a₁=

q

q-1

（a₁-1）得a₁=q，∴數列a_n是首項a₁=q、公比為q的等比數列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ
（II）a1+a2+…+an=

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

4n

)＜

1

3

（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=logqq1+2+n=

n(n+1)

2

∴

1

b1

+

1

b2

++

1

bn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n

-

1

n+1

)，∴2(1-

1

n+1

)≥

m

3

即m≤6(1-

1

n+1

)
∵n=1時，[6(1-

1

n+1

)]min=3，∴m≤3，∵m是正整數，∴m的值為1，2，3

點評：本題考查數列和不等式的綜合運用，解題時要注意等比數列性質的靈活運用．