Question

【題目】對于數列，若存在常數M>0，對任意的n∈N*，恒有，則稱數列為B-數列.

(1)首項為1，公比q()的等比數列是否為B-數列？請說明理由；

(2)設Sn是數列{xn}的前n項和，給出下列兩組論斷：

A組：①數列{xn}是B-數列，②數列{xn}不是B-數列

B組：①數列{Sn}是B-數列，②數列{Sn}不是B-數列

請以其中一組的一個論斷為條件，另一組的一個論斷為結論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結論.

(3)若數列{an}、都是B-數列，證明：數列{anbn}也是B-數列

Answer 1

【答案】（1）是B-數列（2）命題1為假命題. 命題2為真命題.（3）見解析

【解析】

解：(1)設滿足條件的等比數列為{an}，則.于是

因此，

因為|q|<1，所以

即

故首項為1，公比q(|q|<1)的等比數列是B-數列.

(2)命題1：若數列{xn}是B-數列，則數列{Sn}也是B-數列此命題為假命題.

事實上，設x=1，n∈N*，易知數列{xn}是B-數列，但Sn=n，

此時.

由n的任意性，知數列{Sn}不是B-數列

命題2：若數列{Sn}是B-數列，則數列{xn}也是B-數列此命題為真命題.

事實上，因為數列{Sn}是B-數列，所以存正數M，對任意n∈N*有

即.于是

所以數列{xn}是B-數列

按題中要求組成其它命題時，仿上述解法即可獲得解決.

(3)若數列{an}、{bn}都是B-數列，則存在正數M1，M2，使得對任意n∈N*，有

，

.

注意到

同理，可得.記，則有

因此， .

故數列數列{anbn}是B-數列.