Question

【題目】已知定點，定直線，動圓經過點且與直線相切.

（I）求動圓圓心的軌跡方程；

（II）設點為曲線上不同的兩點，且，過兩點分別作曲線的兩條切線，且二者相交于點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)4

【解析】

（Ⅰ）根據圓心運動的特點，得到其軌跡，求出軌跡方程.

（Ⅱ）直線與拋物線聯立，得到的關系，再利用導數求出過兩點的兩條切線，表示出的面積，找到其最小值.

(Ⅰ)由題意知，動圓圓心到點的距離與到直線的距離相等，

所以圓心的軌跡方程以為焦點，直線為準線的拋物線，

動圓圓心的軌跡方程為： .

(Ⅱ)由得，三點共線，

設直線方程為：，則

，

于是，，

因為，所以，

得，即

同理，即

聯立

得：，，，

，即 .

點到的距離為，

，

當時，最小，最小面積為4.