Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可得是等邊三角形. 取中點，連，，可證平面，即證；

（2）法一 作出直線與平面所成的角，在直角三角形中求其正弦值.法二 以為坐標原點，以、分別為軸、軸建立平面直角坐標系，求平面的法向量.設直線與平面所成角為，則．

（1）由題意，是等邊三角形，，

，是等邊三角形.

取中點，連，，

則，，又，

∴平面，∵平面，∴.

（2）法一：在直角梯形中，.

∵平面，平面∴平面平面.

作交為，則平面，、交于，為直線與平面所成的角.

由題意得，又∵，

∴，.

∵，∴，，，

∴為的中點，∴，

∴.

法二：∵，以為坐標原點，與平面垂直的及、分別為軸、軸和軸建立平面直角坐標系，

則，∵，∴

又∵，，，∴,

，，.

設平面的法向量為，,

取.

設直線與平面所成角為，則．