Question

【題目】已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓上，拋物線焦點到準線的距離為.

（1）求橢圓、拋物線的方程；

（2）過橢圓右頂點Q的直線與拋物線交于點A、B，射線、分別交橢圓于點、.

（i）證明：為定值；

（ii）求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）（i）證明見解析，（ii）.

【解析】

（1）由橢圓的對稱性可得所給的四個點哪幾個在橢圓上，代入橢圓的方程可得的值，進而求出橢圓的方程；

（2）（i）由題意可得直線的斜率不為，設直線的方程與拋物線聯立求出兩根之和，及兩根之積可證得 為定值；

（ii）設直線的斜率，設的直線方程與橢圓聯立求出的坐標，求出，的值，由（Ⅰ）可得，求出面積的表達式，由均值不等式求出面積的最小值．

（1）關于軸對稱，關于軸對稱，

在上，

若在上，則，

不在上，在上，

，

又，；

（2）（i）由（1）可得右頂點，由題意可得直線的不為，設，設，

將直線與代入拋物線的方程,可得

，；

所以 ，

所以為定值；

（ii），所以設直線

將直線代入中得：

所以，即；

同理得，

所以，即；

當時，.