Question

（19）如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（Ⅲ）求三棱錐的體積。

Answer 1

本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關系等基礎知識，以及空間想象能力和推理能力。

解法一：（Ⅰ）證明：取的中點，連結

       ∵分別為的中點

       ∵

       ∴面，面

     ∴面面   ∴面

（Ⅱ）設為的中點

∵為的中點   ∴   ∴面

作，交于，連結，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，

在中，

故：二面角的大小為

      （Ⅲ）

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴

解法二：以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則

      

∵分別是的中點

∴

（Ⅰ）

       取n=(0,1,0)，顯然n面

        ·n＝0，∴n

又面  ∴面

（Ⅱ）過作，交于，取的中點，則

設，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（Ⅲ）設n₁=(x₁,y₁,z₁)為平面的法向量，則n₁, n₁

     又

     ∴  

      即   

     ∴可取n₁=(4,-1,2)

     ∴點到平面的距離為

    

    ∵， 

     ∴

     ∴