Question

拋物線y=x²+bx+c（b，c∈R），在曲線上的某一點的切線的傾斜角的范圍為[0，

π

4

]，則這點到拋物線的對稱軸的距離的范圍為

[0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：求函數的導數，利用根據切線的傾斜角的范圍為[0，

π

4

]，得到切線斜率的取值范圍，然后可以求然后利用導數求點到拋物線的對稱軸的距離的范圍．

解答：解：函數的導數為f'（x）=2x+b，因為曲線上的某一點的切線的傾斜角的范圍為[0，

π

4

]，所以斜率的取值范圍是0≤k≤1，
即0≤2x+b≤1．即x∈[-

b

2

，

1

2

-

b

2

]．
點到對稱軸x=-

1

2

b的距離d=x-（-

1

2

b）=x+

1

2

b，
因為x∈[-

b

2

，

1

2

-

b

2

]．
所以d=x+

1

2

b∈[0，

1

2

]，
故答案為：[0，

1

2

]．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，利用傾斜角的范圍得到切線斜率是解決本題的關鍵．