Question

（2009•盧灣區一模）在等差數列{a_n}中，公差為d，前n項和為S_n．在等比數列{b_n}中，公比為q，前n項和為S'_n（n∈N^*）．
（1）在等差數列{a_n}中，已知S₁₀=30，S₂₀=100，求S₃₀．
（2）在等差數列{a_n}中，根據要求完成下列表格，并對①、②式加以證明（其中m、m₁、m₂、n∈N^*）．

用Sm表示S2m	S2m=2Sm+m2d
用Sm1、Sm2表示Sm1+m2	Sm1+m2= Sm1+Sm2+m1m2d ①
用Sm表示Snm	Snm= nSm+ n(n-1) 2 m2d ②

（3）在下列各題中，任選一題進行解答，不必證明，解答正確得到相應的分數（若選做二題或更多題，則只批閱其中分值最高的一題，其余各題的解答，不管正確與否，一律視為無效，不予批閱）：
（ⅰ） 類比（2）中①式，在等比數列{b_n}中，寫出相應的結論．
（ⅱ） （解答本題，最多得5分）類比（2）中②式，在等比數列{b_n}中，寫出相應的結論．
（ⅲ） （解答本題，最多得6分）在等差數列{a_n}中，將（2）中的①推廣到一般情況．
（ⅳ） （解答本題，最多得6分）在等比數列{b_n}中，將（2）中的①推廣到一般情況．

Answer 1

分析：（1）由S₁₀=30，S₂₀=100，得10a₁+45d=30，20a₁+190d=100，解得a1=

6

5

，d=

2

5

，由此能求出S₃₀．
（2）①Sm1+m2=Sm1+Sm2+m1m2d．證明：由am1+m2=am2+m1d，知Sm1+m2=Sm1+am1+1+am1+2+…+am1+m2=Sm1+(a1+m1d)+(a2+m1d)+…+(am2+m1d)，由此得證．
②Snm=nSm+

n(n-1)

2

m2d（或寫成S_nm=nS_m+C_n²m²d，n≥2）．證明：Sm=ma1+

m(m-1)

2

d，Snm=nma1+

nm(nm-1)

2

d=nSm-

nm(m-1)

2

d+

nm(nm-1)

2

d，由此得證．
（3）（ⅰ）S′m1+m2=S′m1+qm1S′m2．
（ⅱ）S′nm=

1-qnm 1-qm S′m，q≠1 nS′m  q=1.

．
（ⅲ） Sm1+m2+…+mn=Sm1+Sm2+…+Smn+[(m1m2+m1m3+…+m1mn)+(m2m3+…+m₂m_n）+…+m_n-1m_n]d，（n≥2）．（或寫成S

n

i=1

mi=

n

i=1

Smi+(

1≤i＜j≤n

mimj)d，（n≥2））．
（ⅳ）S′m1+m2+…+mn=S′m1+S′m2qm1+S′m3qm1+m2+…+S′mnqm1+m2+…+mn-1，（n≥2）．

解答：解：（1）由S₁₀=30，S₂₀=100，得10a₁+45d=30，20a₁+190d=100，
解得a1=

6

5

，d=

2

5

，…（2分）
故S₃₀=210．                                                     …（4分）
（2）①Sm1+m2=Sm1+Sm2+m1m2d．                                   …（6分）
證明：∵am1+m2=am2+m1d，
∴Sm1+m2=Sm1+am1+1+am1+2+…+am1+m2
=Sm1+(a1+m1d)+(a2+m1d)+…+(am2+m1d)
=Sm1+Sm2+m1m2d．       …（8分）
②Snm=nSm+

n(n-1)

2

m2d（或寫成S_nm=nS_m+C_n²m²d，n≥2）．       …（10分）
證明：∵Sm=ma1+

m(m-1)

2

d，
∴Snm=nma1+

nm(nm-1)

2

d=nSm-

nm(m-1)

2

d+

nm(nm-1)

2

d
=nSm+

nm

2

d(nm-1-m+1)=nSm+

nm

2

d(nm-m)
=nSm+

n(n-1)

2

m2d．  …（12分）
（3）（ⅰ）S′m1+m2=S′m1+qm1S′m2．                                     …（16分）
（ⅱ）S′nm=

1-qnm 1-qm S′m，q≠1 nS′m  q=1.

…（17分）
（ⅲ） Sm1+m2+…+mn=Sm1+Sm2+…+Smn+[(m1m2+m1m3+…+m1mn)+(m2m3+…+m₂m_n）+…+m_n-1m_n]d，（n≥2）．（或寫成S

n

i=1

mi=

n

i=1

Smi+(

1≤i＜j≤n

mimj)d，（n≥2））．                   …（18分）
（ⅳ）S′m1+m2+…+mn=S′m1+S′m2qm1+S′m3qm1+m2+…+S′mnqm1+m2+…+mn-1，（n≥2）． …（18分）

點評：本題考查等差數列和等比數列的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．