Question

【題目】已知拋物線 的焦點為,過拋物線上的動點（除頂點外）作的切線交軸于點.過點作直線的垂線（垂足為）與直線交于點.

（Ⅰ）求焦點的坐標；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求線段的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線方程，可得 ，從而得焦點的坐標；（Ⅱ）設，利用導數的幾何意義可得過點的切線的斜率為，從而得，根據過兩點的斜率公式可得，從而可得結論；（Ⅲ）由(Ⅱ)可設直線的方程為，.直線的方程為 .設和交點的坐標為，聯立直線方程可得，，代入圓的方程結果.

試題解析：（Ⅰ）由拋物線方程，可得 ，可得

（Ⅱ）設.由，得，則過點的切線的斜率為.

則過點的切線方程為.令，得，即.又點為拋物線上除頂點外的動點，，則.而由已知得，則.又，即與不重合，即.

（Ⅲ）由(Ⅱ)問，直線的方程為，.直線的方程為 .設和交點的坐標為則

由（1）式得，（由于不與原點重合，故）.代入（2），化簡得 .又，化簡得, （）.

即點在以為圓心，1為半徑的圓上.（原點與除外）

即.