Question

【題目】已知函數，曲線在處的切線方程為.

（1）求實數的值；

（2）且時，證明：曲線的圖象恒在切線的上方；

（3）證明：不等式：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）先表示出導數公式，結合導數的幾何意義建立斜率的等量關系，再結合曲線過切點，即可求解；

（2）由（1）的結論可將所求問題轉化為當且時，，構造函數，則，無法判斷正負，考慮再次求導：，結合零點存在定理可判斷單增，必定存在，使得，倒推出在單調遞減，在單調遞增，又結合端點值，，可得在單調遞減，在單調遞增，，進而得證；

（3）將所證不等式同除得，由（2）的結論進行放縮，可得，即證，再次構造函數，結合導數求出函數最值，即可求證；

（1），由曲線在處的切線方程為知：

解得，.

（2）由題意只需證：當且時，；

設，則，，易知在單調遞增；且，，∴必定存在，使得，則在單調遞減，在單調遞增，其中，

，即在單調遞減，在單調遞增，，即當且時，

成立；

所以當且時，曲線的圖象在切線的上方.

（3）要證：，只需證.

由（2）知時，.

故只需證，即證，

設，則，易知在單調遞減，

在單調遞增，；

即不等式：成立.