Question

【題目】如圖，在三棱錐中， ， ， ，平面平面， 、分別為、中點．

（1）求證： ；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)60°.

【解析】試題分析：

（1）連結PD，由題意可得,則AB⊥平面PDE， ；

（2）法一：結合幾何關系做出二面角的平面角，計算可得其正切值為，故二面角的大小為；

法二：以D為原點建立空間直角坐標系，計算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量為．據此計算可得二面角的大小為.

試題解析：

（1）連結PD，PA=PB，PDAB． ，BCAB，DEAB．

又 ，AB平面PDE，PE平面PDE，

∴ABPE．

（2）法一：

平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．

則DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,

過D做DF垂直PB與F，連接EF，則EFPB，∠DFE為所求二面角的平面角，

則：DE=，DF=，則，故二面角的大小為

法二：

平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，

B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0， ，0)，

=(1，0， )， =(0， ， ）．

設平面PBE的法向量，

令，得．

DE平面PAB， 平面PAB的法向量為．

設二面角的大小為，由圖知， ，

所以即二面角的大小為.