Question

已知點A、B的坐標分別為（0，-2

3

）、（0，2

3

），曲線C上任意一點P滿足|

PA

|+|

PB

|=8且|

.

PA

|-|

.

PB

|≠0．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點Q（0，-5），軌跡C上是否存在滿足

MQ

-

NQ

=0的M、N兩點？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據題意，曲線C上任意一點P滿足|

PA

|+|

PB

|=8，可得曲線C是以A、B為焦點的橢圓，可得a、c的值，進而可得b的值，即可得答案；
（2）根據題意，分析可得斜率不存在時，顯然不合題意設過點Q（0，-5），斜率存在時，設斜率為k，則直線方程為y=kx-5；聯立直線與橢圓的方程，可得（4+k²）x²-10kx+9=0，令△≥0，可得k的范圍；假設在軌跡C上存在兩點M、N，令MQ、NQ的斜率分別為k₁、k₂，根據題意，可得|k₁|≥

3

2

，|k₂|≥

3

2

，顯然不可能滿足k₁k₂=-1；即可得結論．

解答：解：（1）由已知得：|

PA

|+|

PB

|=8
∴曲線C是以A、B為焦點的橢圓（去除短軸兩端點），
∵2a=8，a=4，c=2

3

，
∴b²=4，
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

16

=1（x≠0）；
（2）不存在．
設過點Q（0，-5），斜率為k的直線方程為y=kx-5（斜率不存在時，顯然不合題意）
由

y=kx-5 x2 4 + y2 16 =1

得：（4+k²）x²-10kx+9=0
由△≥0得k²≥

9

4

假設在軌跡C上存在兩點M、N，令MQ、NQ的斜率分別為k₁、k₂，
則|k₁|≥

3

2

，|k₂|≥

3

2

，顯然不可能滿足k₁k₂=-1
∴軌跡C上不存在滿足

MQ

•

MQ

=0的兩點．

點評：類似本題的問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，平時應作為重點來復習訓練．