Question

【題目】已知橢圓系方程： (， )， 是橢圓的焦點(diǎn)， 是橢圓上一點(diǎn)，且.

（1）求的方程；

（2）為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)且與橢圓相切的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求證： 的面積為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意得橢圓的方程為： ，由可得，從而點(diǎn)A的橫坐標(biāo)即為焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是，再結(jié)合點(diǎn)A在橢圓上可得,，于是得到橢圓的方程．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由直線與橢圓相切可得，然后求得點(diǎn)到直線的距離和弦長(zhǎng)，進(jìn)而求得．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得．故可得的面積為定值．

試題解析：

（1）由題意得橢圓的方程為： ，即 ．

∵ ．

∴，

又為橢圓上一點(diǎn)，

∴．

，即，

又，

,

∴橢圓的方程為 ．

（2）解：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為,

由消去y整理得，

∵直線與橢圓相切，

∴，整理得．

設(shè)，則，且，

∴點(diǎn)到直線的距離，

同理由消去y整理得，

設(shè)，

則，

，

．

②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知

綜上可得的面積為定值．