Question

【題目】已知是曲線上的動點，且點到的距離比它到x軸的距離大1.直線與直線的交點為.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）已知是曲線上不同的兩點，線段的垂直垂直平分線交曲線于兩點，若的中點為，則是否存在點，使得四點內(nèi)接于以點為圓心的圓上；若存在，求出點坐標以及圓的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)存在,,.

【解析】

(1)由點到的距離比它到軸的距離大1可知, 點的軌跡為拋物線,即可求出軌跡方程.

(2) 設(shè),點差法結(jié)合中點,可求出,從而可求直線的方程是,直線的方程是,分別與聯(lián)立,求出交點的坐標,求出到四點距離均相等的點即為圓心,該距離即為半徑,即可求出圓的方程.

解:(1)因為點到的距離比它到軸的距離大1,

則點到的距離與點到直線的距離相等.故點的軌跡為拋物線

焦點為,則.即曲線的軌跡方程為.

（2）聯(lián)立,解得,故.

設(shè),則,根據(jù)點差法,兩式相減整理得

.所以直線的方程是

直線的斜率為 ,則直線的方程是

聯(lián)立,解得

從而有.聯(lián)立,得,則

設(shè)的中點為,則,從而有

故四點共圓且為圓心,故圓的方程是.