Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)P為橢圓C上一動點(diǎn)，且的面積最大值為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)，為橢圓C上的兩個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)為多少時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)＝0時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.

【解析】

（1）的面積最大時(shí)，是短軸端點(diǎn)，由此可得，再由離心率及可得，從而得橢圓方程；

（2）在直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元（）后應(yīng)用韋達(dá)定理得，注意，一是計(jì)算，二是計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離，兩者比較可得結(jié)論．

（1）因?yàn)?/span>在橢圓上，當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí)，到軸距離最大，此時(shí)面積最大，所以，由，解得，

所以橢圓方程為．

（2）在時(shí)，設(shè)直線方程為，原點(diǎn)到此直線的距離為，即，

由，得，

，，

所以，，

，

所以當(dāng)時(shí)，，，為常數(shù)．

若，則，，，，，

綜上所述，當(dāng)＝0時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.